2023高二长郡十八校5月联考数学

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2023高二长郡十八校5月联考数学试卷答案

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11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点．
（1）若b-c=$\frac{1}{4}$a，2sinB=3sinC，求cosA的值；
（2）若b²-2b+c²=0，求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范围．

分析（1）根据题意列出y与x的函数解析式，变形后利用二次函数性质求出池内水量最少时的时间即可；
（2）若每小时向水池供水3千吨，表示出y与x关系式，利用作差法判断即可．

解答解：（1）依题意得：y=9+2x-8$\sqrt{x}$=2（$\sqrt{x}$-2）²+1，
当$\sqrt{x}$=2，即x=4时，蓄水池水量最少，y_min=1（千吨），
则y与x的函数解析式为y=9+2x-8$\sqrt{x}$，且4小时时，y的最小值为1千吨，即为池内水量最少；
（2）若每小时向水池供水3千吨，即y=9+3x-8$\sqrt{x}$，
∴（9+3x-8$\sqrt{x}$）-3=3（$\sqrt{x}$-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{2}{3}$＞0，
则水厂每小时注入3千吨水，不会发生供水紧张情况．

点评此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

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