天一大联考 2023届高中毕业年级第三次模拟考试数学

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天一大联考 2023届高中毕业年级第三次模拟考试数学试卷答案

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15．空间四边形OABC各边以及AC、BO的长都是1，点D、E分别是边OA，BC的中点，连接DE．
（1）求直线AC与OB所成角；
（2）计算DE的长．

分析作出图形，则集合A∩B的所有元素组成的图形为直线与抛物线围成的封闭区域，使用定积分求出其面积．

解答解：作出约束条件表示的平面区域如图所示，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+4=0}\\{y=x（x-2）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$．
∴M（-1.3），N（4，8）．
∴直线与抛物线围成的封闭区域面积是：
${∫}_{-1}^{4}（x+4）dx$-${∫}_{-1}^{4}x（x-2）dx$=${∫}_{-1}^{4}（-{x}^{2}+3x+4）dx$=（-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{3{x}^{2}}{2}$+4x）|$\underset{\stackrel{4}{\;}}{-1}$=$\frac{125}{6}$．
故选C．

点评本题考查了了集合的表示法，曲边封闭图形的面积求法，作出平面区域是关键．

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