［山西吉林黑龙江］2023年百万联考高三年级5月联考（524C）数学

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［山西吉林黑龙江］2023年百万联考高三年级5月联考（524C）数学试卷答案

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16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，2cos$\frac{B}{2}$-1），且向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

分析先假设函数存在零点x₀，得出方程：$\sqrt{a^2+b^2}$sin（x₀+φ）=2kπ+$\frac{π}{2}$，再根据三角函数的性质得出结果．

解答解：假设函数f（x）存在零点x₀，即f（x₀）=0，
由题意，cos（asinx₀）=sin（bcosx₀），
根据诱导公式得：asinx₀+bcosx₀=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即，$\sqrt{a^2+b^2}$sin（x₀+φ）=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
要使该方程有解，则$\sqrt{a^2+b^2}$≥|2kπ+$\frac{π}{2}$|_min，
即，$\sqrt{a^2+b^2}$≥$\frac{π}{2}$（k=0，取得最小），
所以，a²+b²≥$\frac{π^2}{4}$，
因此，当原函数f（x）没有零点时，a²+b²＜$\frac{π^2}{4}$，
所以，a²+b²的取值范围是：[0，$\frac{π^2}{4}$）．
故答案为：C．

点评本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题．

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