华普教育 2023全国名校高考冲刺押题卷(二)2数学

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华普教育 2023全国名校高考冲刺押题卷(二)2数学试卷答案

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Ⅱ型糖尿病模型小鼠的制备:在限制小鼠活动的情况下让其过量进食,导致严重肥胖。以下相关分析正确的是A.本实验的自变量为不同的饮食策略B.两种模型小鼠的胰岛素水平均低于正常小鼠C.实验结果说明IF饮食对人类糖尿病有治愈效果D.据实验结果推测,IF饮食或许能重设机体的葡萄糖代谢

分析（1）利用椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$（1，\frac{3}{2}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$，建立方程，求出a，b，即可椭圆C的方程；
（2）动直线l：y=k（x-4）代入椭圆方程，整理可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求直线AD与直线AE的斜率之乘积．
（3）运用韦达定理，结合直线的斜率公式和直线恒过定点的求法，化简整理计算即可得到．

解答解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$（1，\frac{3}{2}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），动直线l：y=k（x-4）
代入椭圆方程，整理可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵A（-2，0），
∴直线AD与直线AE的斜率之乘积=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=$\frac{9}{4}$；
（3）F（x₁，-y₁），E（x₂，y₂），
∴EF的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），即y+k（x₁-4）=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得k（x₁-4）（x₂-x₁）=k（x₁+x₂-8）（x-x₁），
∴（x₁+x₂-8）x=2x₁x₂-4（x₁+x₂），
∴x=1，
∴直线EF过定点（1，0）．

点评本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题．

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