天府名校·四七九 模拟精编 2023届全国高考全真模拟卷(十三)数学

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天府名校·四七九 模拟精编 2023届全国高考全真模拟卷(十三)数学试卷答案

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15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x-2a+1，x≥1}\\{{a}^{x}，x＜1}\end{array}\right.$，在R上为减函数，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

分析（1）由于数列{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，可得k=3²-1²=8，${b}_{3}^{2}$=1+（3-1）×8，同理可得${b}_{4}^{2}$．即可得出．
（2）由等方差数列{a_n}满足a₁=2，a₂=2$\sqrt{2}$，a_n＞0，可得k=${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=4．利用${a}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{2}$+（n-1）k可得a_n=2$\sqrt{n}$．数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$．假设存在正整数p，q，使不等式T_n＞$\sqrt{pn+q}$-1对一切n∈N^*都成立，则$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{pn+q}$-1．即$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2（$\sqrt{pn+q}$-1）．当n=1时，1＞2$（\sqrt{p+q}-1）$，化为p+q＜$\frac{9}{4}$，又p，q为正整数，p=q=1．下面利用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$（\sqrt{n+1}-1）$即可．

解答解：（1）∵数列{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，
∴k=3²-1²=8，
∴${b}_{3}^{2}$=1+（3-1）×8=17，${b}_{4}^{2}$=1+（4-1）×8=25，
∴b₃=$±\sqrt{17}$，b₄=±5．
∴所有满足条件的数列{b_n}的前4项：1，3，$\sqrt{17}$，5；1，3，$\sqrt{17}$，-5；1，3，-$\sqrt{17}$，5；1，3，-$\sqrt{17}$，-5．
（2）∵等方差数列{a_n}满足a₁=2，a₂=2$\sqrt{2}$，a_n＞0，∴k=${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=8-4=4．
∴${a}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{2}$+（n-1）k=4+4（n-1）=4n，∴a_n=2$\sqrt{n}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$．
假设存在正整数p，q，使不等式T_n＞$\sqrt{pn+q}$-1对一切n∈N^*都成立．
则$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{pn+q}$-1．即$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2（$\sqrt{pn+q}$-1）．
当n=1时，1＞2$（\sqrt{p+q}-1）$，化为p+q＜$\frac{9}{4}$，又p，q为正整数，∴p=q=1．
下面利用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$（\sqrt{n+1}-1）$．
①当n=1时，2$（\sqrt{2}-1）$=$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$＜1，∴不等式成立．
②假设当n=k（k≥1）时，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$．
则当n=k+1时，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+$\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+$\frac{2}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+2$（\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}）$=2$（\sqrt{k+2}-1）$，即$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+2}-1）$，
∴当n=k+1时，成立．
综上可得：?n∈N^*，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$（\sqrt{n+1}-1）$成立．

点评本题考查了新定义“等方差数列”、数学归纳法、不等式的性质、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

天府名校·四七九 模拟精编 2023届全国高考全真模拟卷(十三)数学