2023届湖南省普通高中学业水平合格性考试测试模拟卷(三)数学

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2023届湖南省普通高中学业水平合格性考试测试模拟卷(三)数学试卷答案

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1.液泡的功能是多方面的,维持细胞的坚挺是它所起的明显作用;其次是贮藏各种物质,如甜菜中的蔗糖就是贮藏在液泡中的,而许多花的颜色就是色素在花瓣细胞液泡中浓缩的结果;第三,液泡中含有水解酶,可以吞噬消化细胞内被破坏的成分;最后,液泡在植物细胞的自溶中也起到一定的作用。下列说法错误的是A.液泡能维持细胞的坚挺与其细胞液中的溶质微粒有关B.贮藏在液泡中的蔗糖可能是甜菜光合作用的产物之C.液泡可以吞噬消化细胞内被破坏的成分与其合成的水解酶有关D.植物细胞自溶时液泡可能被破坏,从而将其贮藏的水解酶释放出来

分析（1）利用极坐标与直角坐标的转换关系式$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$，可将曲线C的方程化为直角坐标方程．
（2）联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．

解答解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4．
（2）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=2+tcosa}\end{array}\right.$（t为参数，a为直线l的倾斜角），
∴将l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由题意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜$\frac{π}{2}$．
设点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
由韦达定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁•t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）．
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，
故|PM|+|PN|的取值范围是（4，4$\sqrt{2}$]．

点评极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ²═x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=$\frac{y}{x}$等．对于曲线C与直线l的相交问题，一般是联立曲线与直线的方程，消去相应的变量，再利用韦达定理求解．

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