江准名校·2024~2023学年下学期高一年级阶段联考(231610D)数学

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江准名校·2024~2023学年下学期高一年级阶段联考(231610D)数学试卷答案

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14．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．

分析令t=$\sqrt{x}+1$，则$\sqrt{x}$=t-1，x=（t-1）²，换元可得：f（t）=t²-1，进而利用代入法，可得函数f（x+1）的解析式．

解答解：令t=$\sqrt{x}+1$，则$\sqrt{x}$=t-1，x=（t-1）²，
∵$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，t≥1．
∴f（x+1）=（x+1）²-1=x²+2x，x≥0
故答案为：f（x+1）=x²+2x，x≥0

点评本题考查的知识点是函数解析式的求法，熟练掌握换元法的解题步骤是解答的关键．

江准名校·2024~2023学年下学期高一年级阶段联考(231610D)数学