2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟押题卷(二)数学

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2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟押题卷(二)数学试卷答案

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5．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_f，D_g，且D_f?D_g，若对于任意x∈D_f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_g上的一个延拓函数．设f（x）=2^x，x∈（-∞，0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数．
（1）若g（x）是奇函数，则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若g（x）满足：①当x≥0，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$；
②值域为（0，2）；
③对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
则实数a，b的取值分别为2，1．

分析（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-21nx-x的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，从而判断函数的单调性，再求极值；
（2）求导f′（x）=x-$\frac{{a}^{2}-a}{x}$-1=$\frac{（x-a）（x+（a-1））}{x}$，讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；
（3）化简可得$\frac{1}{2}$x²-（3a²-a）1nx＞0，从而可得6a²-2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，令F（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，从而求得F_min（x）=F（$\sqrt{e}$）=2e；从而化为3a²-a-e＜0，从而解得．

解答解：（1）当a=-1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-21nx-x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
故f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=2处取得极小值f（2）=2-2ln2-2=-ln4；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）1nx-x，
∴f′（x）=x-$\frac{{a}^{2}-a}{x}$-1=$\frac{（x-a）（x+（a-1））}{x}$，
①当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，
f（x）在（0，a），（1-a，+∞）上单调递增，
在（a，1-a）上单调递减，
③当a≤0时，
f（x）在（0，1-a）上单调递减，（1-a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）＞g（x），
∴$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）1nx-x＞a²lnx²-x，
即$\frac{1}{2}$x²-（3a²-a）1nx＞0，
即6a²-2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，则F′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
故F（x）在（1，$\sqrt{e}$）上是减函数，在（$\sqrt{e}$，+∞）上是增函数，
故F_min（x）=F（$\sqrt{e}$）=2e；
故6a²-2a＜2e，
故3a²-a-e＜0，
故$\frac{1}{6}$（1-$\sqrt{1+12e}$）＜a＜$\frac{1}{6}$（1+$\sqrt{1+12e}$）．

点评本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了恒成立问题．

2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟押题卷(二)数学