高考数学二轮复习培优专题第10讲恒成立能成立3种常见题型

高考数学二轮复习培优专题第10讲恒成立能成立3种常见题型

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1、第10讲 恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一：恒成立问题若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；考点二：存在性问题若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；考点三：双变量问题对于任意的，总存在，使得；对于任意的，总存在，使得；若存在，对于任意的，使得；若存在，对于任意的，使得；对于任意的，使得；对于任意的，使得；若存在，总存在，使得若存在，总存在，使得【题型目录】题型一：利用导数研

2、究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一：利用导数研究恒成立问题【例1】（2024福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【详解】令，其中，则，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，.故选：B.【例2】【2024年全国甲卷】已知函数(1)若，求a的取值范围；【答案】(1)【解析】(1)的定义域为， 令,得当单调递减，当单调递增，若,则,即，所以的取值范围为【例3】已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）

3、.【解析】【分析】（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，不满足对任意的恒成立.所以综上所述：.【例4】已知函数（是正常数）.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若，求的取值范围；

4、【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）当时，定义域为，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值.（2）因为，即恒成立，即.设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.【例5】已知函数（1）求的极值点；（2）若对任意恒成立，求的取值范围【答案】（1）是的极小值点，无极大值点；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的

5、极值点.（2）由题设知：在上恒成立，构造并应用导数研究单调性求最小值，即可求的范围【详解】（1）由题设，时，单调递减；时，单调递增减；是的极小值点，无极大值点.（2）由题设，对恒成立，即在上恒成立，令，则，时，递减；时，递增；，故.【题型专练】1.（2024四川广安模拟预测（文）不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得.【详解】由题可得在区间上恒成立，令，则，当时，当时，所以的单调增区间为，单调减区间为；所以， 所以.故选：D.2.（2024北京景山学校模拟预测）已知函数(1)当时，求的极值；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)极小值是，无极大值.(2)【解析】【分析】（1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值.（2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a的取值范围.(1)当时，的定义域为，则.令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值且为，无极大值.(2)对任意的恒成立，则对任意的恒成立

15.下列对这首诗的理和赏析,正确的一项是(3分)明时A.首联写诗人登高缆胜,点明时间、地点,展现海上西风、水天苍茫的壮阔景象CB.颔联以城外家捕鱼采樵自得其乐,山间小路松柏生香凸显海州人民生活的惬意。权所有出C.颈联以“鸿阵”写出天空的广阔,以“橹声忙”,写出健儿与风涛搏斗的惊险情状。D.诗人立足亭中,放眼海上,写景时远时近,忽上忽下,描绘了幽美景色和宏阔气象。