高考数学二轮复习培优专题第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题

高考数学二轮复习培优专题第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题

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1、第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题 【典例例题】题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题【例1】（2023全国高三专题练习）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定不等式，构造函数和，作出函数图象，结合图象分析求解作答.【详解】由不等式（），令，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒有，函数，表示恒过定点，斜率为的直线，在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数，于是得，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D【

2、点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.【例2】（2023四川成都七中模拟预测（理）已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解.【详解】当时，即为,即,不成立；当时不等式等价于,由于，故不成立；当时，不等式等价于，若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不

3、符合题意；当时，令，则，在上，单调递增，在上，单调递减，且在(上,在上,又在趋近于时，趋近于0，在上的图象如图所示：，当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,，故选：C【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.【例3】（2024辽宁辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范

4、围，列不等式组求k的范围.【详解】由题设，定义域为，则可得，令，则，所以时，即递增，值域为；时，即递减，值域为；而恒过，函数图象如下：要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，若交点的横坐标为，则，所以，即.故选：C【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.【题型专练】1.（2024福建莆田二中高二期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线下方，再借助导数探讨求解作答.【详解】令，显然直线恒过点，则“

5、存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，当时，当时，即在上递减，在上递增，则当时，当时，而，即当时，不存在整数使得点在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，因此有，解得，所以的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.2.（2024青海海东市第一中学模拟预测（理）已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，到的斜率，分析临界情况即可【详解】由且，得，设，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，函数的图象过点，结合图象，因为，所以故选：C3（2024全国模拟预测（理）已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（）ABCD

3.根据原文内容,下列说法不正确的一项是(3分)A.古典诗词承载着前哲先贤的品格与修养,可以超越时空距离,直到今天仍然可以带给我们深刻的人生启示。B.中华民族有许多有理想、有品格的人,诗词可以唤起人们不死的“诗心”,古典诗词不会消亡,会代代相传。C.青少年品读古典诗词,可以内化为一种精神的力量,从而呼应古人,完成一种诗词上的传承和文化上的赓续。D.学习古典诗词,诵读或者背诵是不重要的,重要的是要让古诗词与自己的生命情感发生碰撞,引领自己当下的修为。