新高考金卷2024届全国卷适应卷（三）数学部分

（Ⅰ）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）（ⅰ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；

（ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数．）

参考公式：回归直线的方程是，其中， ．

(1) (2) 车流量为8万辆时，PM2.5的浓度约为67微克/立方米, 应控制当天车流量在13.5万辆以内.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据公式求出回归系数，求出平均值，代入方程，可写出线性回归方程；（Ⅱ）（ⅰ）根据（Ⅰ）的性回归方程，代入x=8求出PM2.5的浓度；（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，解得x的取值范围即可

解析：

（Ⅰ）由数据可得：

故y关于x的线性回归方程为

（Ⅱ）（ⅰ）当车流量为8万辆时，即x=8时， 故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度约为67微克/立方米．

（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，∴为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在13.5万辆以内。

已知函数（）.

（Ⅰ）若函数有零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若对任意的，都有，求实数的取值范围.

(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由函数有零点得：关于的方程（）有解

令，则，于是有关于的方程有正根，设，对m进行讨论即可；

（2）由题意可得，，变形为：，进行分类讨论化简整理可得.

详解：（1）由函数有零点得：关于的方程（）有解

令，则

于是有，关于的方程有正根

设，则函数的图象恒过点且对称轴为

当时，的图象开口向下，故恰有一正数解

当时，，不合题意

当时，的图象开口向上，故有正数解的条件是

解得：

综上可知，实数的取值范围为.

（2）由“当时，都有”得：

，②

∵，故②变形为：

当时，不等式②简化为，此时实数

当时，有

∴

∴，

∵当时，，

当且仅当时取等号

∴

综上可知，实数的取值范围.