2024届名师原创分科模拟(三)ZS4数学

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2024届名师原创分科模拟(三)ZS4数学试卷答案

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5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的左、上顶点分别为A、B，椭圆C的左焦点为F，且△ABF的面积为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

分析换元t=log₂x，求得0≤t≤1，化简g（x）即为h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，求出对称轴t=-2，可得h（t）在[0，1]为增函数，计算即可得到所求最值．

解答解：∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即1≤x≤2，
∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
设t=log₂x，则h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，
∵对称轴t=-2，h（t）在[0，1]为增函数，
则g（x）的最小值为h（0）=2，最大值为h（1）=7．

点评本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．

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