北京市朝阳区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案

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10．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{4}{3}$，且有a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*
（I）求证：数列{a_n}是递增数列；
（Ⅱ）记S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$，T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$求证：S_n+3T_n=3．

分析①根据全称命题的否定是特称命题即可判断是否正确；
②根据对数函数的定义与复合函数的单调性求出f（x）的单调增区间；
③先判断命题p、q的真假性，再判断复合命题的真假性；
④根据$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$以及周期性的定义，求出f（x）是以4为周期的函数；
⑤写出该命题的逆命题再判断它的真假性．

解答解：对于①，命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，∴①正确；
对于②，函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-4}）$的单调递增区间是（-∞，-2），∴②错误；
对于③，命题p中，根据三角函数的诱导公式，得
?x∈R，sin（π-x）=sinx，∴p是真命题；
命题q中，当α，β均是第一象限的角时，若α=$\frac{9π}{4}$，β=$\frac{π}{4}$，
则sinα=sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴q是假命题，￢q是真命题，
∴p∧?q是真命题，③正确；
对于④，函数f（x）对于任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，
∴f（x）=-$\frac{4}{f（x+2）}$，即f（x+2）=-$\frac{4}{f（x）}$，
∴f[（x+2）+2]=-$\frac{4}{f（x+2）}$=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，④正确；
对于⑤，命题“若a=-1，则函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点”的逆命题是
“若函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点，则a=-1”，它是假命题，
如a=0时，函数f（x）=2x-1，也只有一个零点，∴⑤错误．
综上，正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评本题考查了命题真假的判断问题，重点考查了命题的否定与复合命题的真假性判断，复合函数的单调性以及函数的周期性等问题，是综合性题目．

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