（三模）南昌市2025届高三信息卷数学试卷（含答案）

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1、1#QQABLYAAogAAAAIAABgCQQU6CECQkACACaoGBAAUMAAAwRNABAA=#1 2#QQABLYAAogAAAAIAABgCQQU6CECQkACACaoGBAAUMAAAwRNABAA=#2 2025届高三信息卷数学 参考答案及评分意见 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C A A D D D B B 二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对

2、的得部分分，有选错的得 0 分。题号题号 9 10 11 答案答案 ABC AB ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。121 1360 14718 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15【解析】（1）由3cos2cos22AB，得223(12sin)(12sin)2AB，则22sin3sin(sin,sin0)BAAB，sin3sinBA，由正弦定理得：33ba.6 分（2）设CBD,在Rt BCD中，3cos3BCBDc，在ABC中，由余弦定理得：2222cos()ABBCACAB BC，即233923()23

3、ccc ，所以24c，即2c.13 分 16【解析】（1）分别过,A B C作底面DEF的垂线，垂足111,A B C，垂足分别为,DE EF FD的中点，所以1111/,AABB AABB，所以四边形11AAB B为平行四边形，所以11/ABAB，所以/AB平面DEF，同理/CB平面DEF.故平面ABC平面DEF.6 分（2）取DE的中点O，分别以OE，OF，OA为,x y z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则313311(0,0,),(,),(,0,0),(,0,0)244222ACDE，所以1313(,0),(,0,)4422ACAD ,设平面CDA的法向量为1(,)nx y z，则110

4、0nACnAD ，所以1304413022xyxz，令3x，得3,3yz，所以1(3,3,3)n，由图可知平面EDA的一个法向量为2(0,1,0)n ，11 分 所以12121235cos,5|15 1n nn nnn ，所以二面角CDAE的正弦值为2 55.15 分 17【解析】（1）因为32()(e)xxfxaxx，而2x 不是()f x的极值点，所以方程e0 xax还有其它正根（变号零点），若曲线exy 和yax在(0,)只有一个公共点，则exy 和yax相切，不符合题意，所以此时e0 xax必有两个正根，且2x 为其中一个根，所以2e2a.5 分（2）由（1）可得232e()(e)2x

5、xfxxx，设2e()e2xg xx，则方程()0g x 的两根为002,(02)xxxx，其中020ee2xx.因为00 xx时，()0g x 所以(2)()0 xg x，即()0fx，此时()f x单调递减；02xx时，()0g x，则(2)()0 xg x，即()0fx，此时()f x单调递增；2x 时，()0g x，所以(2)()0 xg x，即()0fx，此时()f x单调递增.即min0()()f xf x.10 分 因为020ee2xx，即00ln2ln2xx，所以02min00200ee2()()(ln)2xf xf xxxx 22000ee2(2ln2)22xxx 200e1

6、(2ln2)2xx2e(22ln2)02，且0 x 时，()f x ；x 时，()f x ，所以()f x在00(0,),(,)xx 上各有1个零点，所以()f x在(0,)上有且仅有2个零点.15 分 18.【解析】（1）依题意可知动点Q到点(1,0)的距离等于到直线1x 的距离 所以动点Q的轨迹是以F为焦点，1x 为准线的抛物线.所以C的方程为24yx.5 分（2）（）设112233(,),(,),(,)A x yB xyM xy 因为,A B在曲线C上，则有21122244yxyx，两式相减得：124ABkyy.同理132344,AMBMkkyyyy.因为ABM为直角三角形，即MAMB 所以1MAMBkk,即1323441yyyy.则2121233()16y yyyyy，8 分 又因为ABM的重心G在x轴上.则有1230yyy，即123yyy 所以1216y y ，直线AB的方程为11124()yyxxyy，所以直线AB的方程为12124()0 xyyyy y，所以直线AB经过定点(4,0)P；11 分()设112233(,),(,),(,)A x yB xyM xy,且1230