2025-2026学年天津市南开大学高一新生入学考试（伯苓班、卓越班二次选拔考试）数学试卷（含答案）

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1、第 1页，共 9页2025-2026 学年天津市南开大学高一新生入学考试学年天津市南开大学高一新生入学考试数学试卷数学试卷1.求=sin2的最小正周期2.集合=0,1，集合=|2，若 ，求的取值范围3.求渐近线夹角为3的双曲线的离心率4.=202620252025,=202620252026，试比较ln与ln大小5.棱长为 1 的正方体 中，?=?,?=?,?=?，求四面体的体积6.数列 中，1=1,+1=+1，求20257.复数满足|1|=1,|2|=1，求|8.求 +1+15中3的系数9.正三棱柱中任选两条棱，求这两条棱互为异面直线的概率10.等腰梯形的各边和对角线的长均为整数，求它的周长

2、的最小值11.正四面体中，?=2?,?=2?，求直线与夹角的余弦值12.已知 ln ln=32(ln2)2，求32的下确界13.抛物线=2与直线=+交于,两点，(1,1)，若外接圆的圆心在=3上，求的值第 2页，共 9页14.等差数列，等比数列 满足1=1=1，2=2=2，前项和为，求=1+1+1?15.证明存在 0,2,sin,cos,tan成等差数列16.已知1:24+23=1 的左焦点为,1上一动点，射线与2:(+1)2+2=4 交于点，点在1的切线1与点在2的切线2交于点，求证：点的横坐标为定值第 3页，共 9页参考答案参考答案1.解：=sin2=1cos22，最小正周期为=22=2.

3、解：因为 ，所以对 有 ，故 0 2且 1 2，解得 0,0)，故双曲线的渐近线方程为=因为两渐近线的夹角为3，所以直线=的倾斜角为6或3，所以=33或=3当=33时，双曲线的离心率=1+22=233，当=3时，双曲线的离心率=1+22=2所以双曲线的离心率为233或 24.解：令=20262025，则=2025，=2026，ln=2025ln，ln=2026ln=2026ln20262025=2025ln故ln=ln第 4页，共 9页5.解：如图以点为原点，分别以,所在直线为,轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)

4、,(1,1,1),(0,1,1)，因?=?,?=?,?=?，则可得：(2,2,0),(1,1,2),(1,1,2)，则?=(2,2,0),?=(1,1,2),?=(1,3,2),?=(1,1,2)，|?|=22,|?|=6,|=14，在中，因|?|2+|?|2=|2，故 ，则的面积为=12 22 6=23设平面的法向量为?=(,)，则?=2+2=0?=+2=0，故可取?=(1,1,1)，因点到平面的距离为=|?|?|=43，故四面体的体积为=13 =13 23 43=836.【解：因为+1=+1，所以1+1=+1=1+1，即1+11=1，又1=1，则11=1，所以数列1是以 1 为首项，1 为

5、公差的等差数列，所以1=1+(1)1=，第 5页，共 9页所以=1，所以2025=120257.解：设=+i(,)，则(1)2+2=1，(2)2+2=1，所以(2)2(1)2=3 2=0，故=32，则2=1 (1)2=34，故|=2+2=38.解：设为选的次数，为选1的次数，为选 1 的次数，则+=5,=3，所以(,)=(3,0,2)或(,)=(4,1,0)，那么 +1+15中3的系数为：=533022+5411=159.解：异面直线对数：上下底棱之间共 3 3=9 对，对应边平行的有 3 对，故有 6 对异面直线；上底棱与侧棱有 3 对异面直线；下底棱与侧棱有 3 对异面直线，故总共有 12

6、 对异面直线所以正三棱柱中任选两条棱，这两条棱互为异面直线的概率=12C92=1310.解：设上底长，下底长，腰长，高，对角线长为，则 ,，且2=22+2,2=+22+2则2=2+，2，周长为+2若=1，由得 2=2 =+1 代入得2 2=1+2+(+1)2与为整数矛盾若=2，由得 4，所以 可能取 1,2,3，即=+1 或=+2 或=+3当=+1，代入得=3,=4,=4,=2，周长为 11当=+2,2=4+(+2)=2+2+4=(+1)2+3，不存在正整数使(+1)2+3 为完全平方数；当=+3,2=2+3+4，无正整数使2+3+4 为完全平方数当 3 时，假设该等腰梯形的周长不大于 11，则+5.因为 0，可知,同号，分类讨论如下：0,0,3+2 26=6ln2 32=e3+2 26=64，0,0,0,=32(ln2)2,0 0，故 14，因为1,2是方程2+=0 的根，所以1+2=1,12=，设外接圆方程为()2+()2=2，将=2代入()2+()2=2，可得()2+2 2=2，所以4+(1 2)2 2+2+2 2=0，由已知(1,1)，1,12,2,22都是圆与抛物线的交点，设