2024-2025学年北京东城区高三（上）期末数学试卷（含答案）

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1、第 6 页/共 12页 参考答案 一、选择题（共 10小题，每小题 4 分，共 40分）（1）A（2）D（3）A（4）B （5）B （6）C（7）B（8）D（9）A （10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25分）（11）(3,)（12）10（13）2213yx（答案不唯一）（14）12,140（15）三、解答题（共 6 小题，共 85分）（16）（共 13分）解：（）在ABC中，因为1cos2aBcb，由正弦定理sinsinsinabcABC得1sincossinsin.2ABCB 又因为sinsin()sincoscossinCABABAB，所以1cossinsin0.2

2、ABB 因为sin0B，所以1cos.2A 因为(0,)A，所以3A 7分（）若选条件：因为13cos14B，所以23 3sin1cos14BB 因为sinsinabAB，所以sin3sinaBbA.所以1cos82caBb 此时2222227381cos22 7 37abcCab ，C为钝角，符合题意13分 若选条件：因为ABC的面积为6 3，所以1sin6 32bcA.由（I）知3A，所以24bc.由余弦定理得2222cosabcbcA，即2249bcbc.所以11bc.因为C为钝角，所以3,8bc.第 7 页/共 12页 此时2222227381cos22 7 37abcCab ，C为钝

3、角，符合题意13分（17）（共 14分）解：（）取PC的中点F，连接,EF DF.在PBC中，因为,E F分别为,PB PC的中点，所以EF/BC且12EFBC.因为O为AD的中点，底面ABCD为菱形，所以/OD BC且12OD=BC.所以EF/OD且EFOD.所以四边形OEFD为平行四边形.所以/OE DF.又因为DFPDC平面，OEPDC平面，所以OE平面PDC.6分 （）连接OP,OB.因为PAD为正三角形，所以OPAD.因为侧面PAD与底面ABCD垂直，侧面PAD底面ABCDAD,OP 平面PAD，所以OP 底面ABCD.所以OPOB.由题知ABD为正三角形，O为AD的中点,所以OBA

4、D.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设1OA，则3OPOB 于是(0,0,0)O，(1,0,0)A，(0,3,0)B，(2,3,0)C，(1,0,0)D，(0,0,3)P，33(0,)22E.所以(1,3,0)DC ,33(0,)22DE.设(,)x y zn是平面DEC的法向量，则00,DCDEnn,即30330.22xyxyz,令1y，则3x，3z .于是(3,1,3)n 第 8 页/共 12页 因为(2,0,0)AD ，所以222|2 339|cos,|13|2(3)1(3)ADADAD n|n|n|.所以直线AD与平面DEC所成角的正弦值为3913.14分（18）（共 13分）解

5、：（）根据题中数据，在 200人中愿意购买第一款新品的人数为408020140，所以该名顾客愿意购买第一款新品的概率可估计为140720010.4分（）由题设，X的所有可能值为 0，1，2，3.根据题中数据，得 青少年组的人数为303060.随机抽取 1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为301=602，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为301=602.中年组的人数为6040100.随机抽取 1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为603=1005，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为402=1005.老年组的人数为301040.随机抽取 1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为

6、303=404，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为101=404.所以0P X 可估计为121125420，1P X 可估计为12113112311+25425425440，2P X 可估计为1311231339+25425425420，3P X 可估计为133925440.X的分布列为：X 0 1 2 3 P 120 1140 920 940 第 9 页/共 12页 所以EX 111993701232040204020 .10分（）132DDD.13分 （19）（共 15分）解：（）ln(1)()xxf xe的定义域为(1,)，(0)0f.21ln(1)1()xxxxxfxeee1ln(1)1xxxe，(0)1f 所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为01(0)yx，即yx 5分（）由（）知1ln(1)1()xxxfxe 令1()ln(1)1g xxx，(1,)x 由21101(1)()xxg x 知，()g x在区间(1,)上单调递减，又1(0)10,(1)ln202gg，则存在唯一0(0,1)x，使得0()0g x 当x变化时，(),()fxf x的情况如下：