函数及其性质[2025山东各地市一模数学试题分类汇编]

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2、4【答案】B【解析】【分析】先设，根据，求出，再根据指数式与对数式的转化，可求的值.【详解】因为与成正比例关系，所以可设，由由，又，所以.故选：B12. （2025山东潍坊一模）写出一个同时具有下列性质的函数_；在上是增函数【答案】（答案不唯一，形如都可以）【解析】【分析】取验证即可.【详解】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足；对任意的、，满足.故答案为：（答案不唯一，形如都可以）.8. （2025山师附中一模）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值.【详解

3、】依题意在区间上有零点，整理得在上有解，表示坐标系中，直线（看成参数）上的点，所以表示原点到直线上的点的距离的平方，设，由于，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.4. （2025山东青岛一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，真氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（

4、 ）（，精确到年）A. 年B. 年C. 年D. 年【答案】D【解析】【分析】令，解此方程即可.【详解】令可得，可得，所以，故臭氧消失一半所需要的时间约为年.故选：D.10. （2025山东青岛一模）已知狄利克雷函数设函数，则（ ）A. 是奇函数B. 是周期函数C. 的值域是D. 在区间上的有理数零点恰有3个【答案】ABD【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；函数及三角函数的值域可判断C；应用特殊三角函数值可判断D【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，故，是奇函数，故A正确；对于任意的整数，当为

5、有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，即函数周期函数，故B正确；函数的值域为，当为无理数时，当为有理数时，不能取到一个周期所有实数，所以取不到全部，故C错误；，当为有理数时，得出在区间上有，3个有理数零点，故D正确；故选：ABD5. （2025山东威海一模）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，由，可得，所以.故选：.7. （2025山东威海一模）已知函数，若对，且，都有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设，且，都有，所以在上单调递减，易知在上单调递减，当时，满足题设，当时，或，综上，.故选：A11. （2025山东威海一模）设，已知函数（ ）A. 在上单调递减B. 当时，存在最小值C. 设，则D. 设，若存在最小值，则【答案】BCD【解析】对于A，取，画出函数图象，可知在不是单调递减；故A错误；对于B：对于B，当时，当时，；当时，显然取得最小值；