安徽第一卷·2023年九年级中考第一轮复习（十二）数学

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安徽第一卷·2023年九年级中考第一轮复习（十二）数学试卷答案

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15．函数f（x）=2^x+lg（x+1）-5的零点x₀∈（k，k+1），k∈Z，则k=2．

分析利用换元法，设t=1+$\frac{1}{x}$，把原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
再设函数f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，利用导数判断f（t）的单调性，从而证明不等式成立．

解答证明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，
∴$\frac{1}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{t-1}}$=$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$，
原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
设f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，
则f′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在（1，+∞）上是单调增函数，
∴f（t）＞f（1）=0，
∴lnt＞1-$\frac{1}{t}$；
即ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$（0＜x＜+∞）．

点评本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性证明不等式成立的问题，体现了转化、换元的数学思想，是中档题．

安徽第一卷·2023年九年级中考第一轮复习（十二）数学