2023届内蒙古高三年级3月联考（4001C）数学

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2023届内蒙古高三年级3月联考（4001C）数学试卷答案

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1．学校办了一场知识大赛，共分两组．其中甲组得满分的有1名女生和3名男生，乙组得满分的有2名女生和4名男生．现从得满分的同学中，每组各任选2名同学，代表学校参加市级比赛
（1）求选出的4名同学中恰有1名女生的概率；
（2）设X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

分析（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程组，求解a，b即可．
（2）利用函数的极值点，结合导函数的符号，推出函数的单调区间即可．

解答解：（1）由已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，
可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因为f（x）在x=1及x=2处取得极值，所以1和2是方程f′（x）=6x²+6ax+3b=0的两根，
故$\left\{\begin{array}{l}6+6a+3b=0\\24+12a+3b=0\end{array}\right.$
解得：a=-3、b=4．
（2）由（1）可得f（x）=2x³-9x²+12x+8，
可得 f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）
当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增加的；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减少的．
所以，f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）．

点评本题考查导函数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．

2023届内蒙古高三年级3月联考（4001C）数学