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丰城中学2024-2023学年下学期高二月考数学试卷答案
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18.已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,$\sqrt{11}$,4,若该长方体的顶点都在一 个球的球面上,则这个球的体积为( )
A. | 288π | B. | 144π | C. | 108π | D. | 36π |
分析由对称性得到椭圆焦点坐标,可知椭圆是焦点在y轴上的椭圆,求出离心率,代入焦半径公式,可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$,结合P点纵坐标的范围得答案.
解答解:点A(-3,0)关于直线y=x和y=-x的对称点分别为(0,-3),(0,3),
即F1(0,-3),F2(0,3),
∴b=c=3,则a2=b2+c2=18,a=$3\sqrt{2}$.
∴椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$.
设P(x0,y0),则-3≤y0≤3.
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=a+ey0=3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$,|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a-ey0=$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$.
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=(3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$)($3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$)=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$,
当y0=0时,|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|有最大值为18.
故答案为:18.
点评本题考查椭圆的简单性质,训练了椭圆焦半径公式的应用,属中档题.
丰城中学2024-2023学年下学期高二月考数学
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