2024~2023学年核心突破QG(十九)19数学

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2024~2023学年核心突破QG(十九)19数学试卷答案

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1．已知双曲线C的焦点在x轴上且渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，直线L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）与双曲线C交于A，B两点，|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，求双曲线C的方程．

分析（1）化简得f（x）=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ解得增区间；
（2）根据x的范围求出2x+$\frac{π}{4}$的范围，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最值．

解答解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$时，f（x）取得最大值1，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．

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