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天一大联考2024-2023学年度高一年级下学期期中考试数学

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试题答案

天一大联考2024-2023学年度高一年级下学期期中考试数学试卷答案

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18.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为P,过P任作一条直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值
(2)设C为抛物线上位于第一象限的任意一点,过C作直线l与抛物线相切,求证:F关于直线l的对称点在抛物线的准线上.

分析f(x)=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})$,y=f′(x)=cosx-sinx=$\sqrt{2}$$sin(x+\frac{3π}{4})$,根据把f(x)图象向右平移了m个单位后,得到函数y=f′(x)的图象,其中m∈(0,2π),可得$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4}-m)$=$\sqrt{2}$$sin(x+\frac{3π}{4})$,解出即可得出.

解答解:f(x)=sinx+cosx=$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx)$=$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})$,
y=f′(x)=cosx-sinx=-$\sqrt{2}$$sin(x-\frac{π}{4})$=$\sqrt{2}$$sin(x+\frac{3π}{4})$,
∵把f(x)图象向右平移了m个单位后,得到函数y=f′(x)的图象,其中m∈(0,2π),
∴$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4}-m)$=$\sqrt{2}$$sin(x+\frac{3π}{4})$,
∴$x+\frac{π}{4}-m$=2kπ+π-$(x+\frac{3π}{4})$(舍去),或$2kπ+x+\frac{3π}{4}$,
∴m=$-2kπ-\frac{π}{2}$,取k=-1,
则m=$\frac{3π}{2}$.
故答案为:$\frac{3π}{2}$.

点评本题考查了和差公式、图象变换、导数运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

天一大联考2024-2023学年度高一年级下学期期中考试数学

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