高考数学一轮复习讲义微专题《35形如向量AD=xAC+yAB条件的应用》(含详解)

高考数学一轮复习讲义微专题《35形如向量AD=xAC+yAB条件的应用》(含详解)

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1、微专题35 形如条件的应用一、基础知识：1、平面向量基本定理：若平面上两个向量不共线，则对平面上的任一向量，均存在唯一确定的，（其中），使得。其中称为平面向量的一组基底。（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若且，则2、“爪”字型图及性质：（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线当，则与位于同侧，且位于与之间当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上（2）已知在线段上，且，则3、中确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对

2、同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解二、典型例题：例1：在中，为边的中点，为的中点，过点作一直线分别交于点，若，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 思路：若要求出的最值，则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图，所以，其中，下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系：且，所以，因为，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以答案：A例2：如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 思路：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可

3、得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C例3：在平面内，已知，设，则等于（ ）A. B. C. D. 思路：所求为，可以考虑对两边同时对同一向量作数量积，从而得到的方程，解出，例如两边同对作数量积，可得：，因为，所以有，同理，两边对作数量积，可得：，即，所以，通过作图可得或，从而，代入可得：答案：B小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量（2）本题也可通过判定，从而想到建立坐标系通过坐标解出，进而求出例4：如图，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围

4、是（ ）A. B. C. D. 思路：因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：答案：例5：已知，则与的夹角的余弦值为_思路：若要求与的夹角，可联想到，所以只需确定与，由一方面可以两边同时对作数量积得到，另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出，进而求出解：且 答案：例6：如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为_思路一：由图像可得：，由此条件中可提供的模长及相互的夹角，若要求得，可考虑求出的值。则需要两个

5、方程。对两边同时对作数量积，即，由，可得：，再将两边对作数量积，则，即，所以，即思路二：从图形中可想到建系，得到的坐标，从而利用坐标可求得的值：如图建系可得：，所以，从而可得，所以答案：6例7：已知在中，为的外心，且，则_ 思路：通过观察条件发现很难从几何方向直接求，从而考虑利用计算数量积，如何利用这个条件呢？对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积，从而得到关于的实数方程。由于是外心，进而在上的投影为各边的中点，所以可用数量积的投影定义计算出，结合所求，可确定两边同时与作数量积即可。解：由，可得：（*）在上的投影向量为（为中点） ，同理：所以（*）变形为： 小炼有话说：对于形如，若想得到关于的方程，可以考虑对同一向量作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。例8：给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.思路：所求的最值，可考虑对等号两边对同一向量作数量积，从而转化为的等式：即即，从而可发现，所以只需求得的最大值，其中根据扇形的特点可知的终点为的中点，即，所以，只需最大即可。可知重合时，所以的最

4.在一个大雾天,一辆小汽车以20m/s的速度行驶在平直的公路上,突然发现正前方x0=20m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶,小汽车司机经0.5s反应时间后立即刹车,从小汽车司机开始刹车时计时,3s后卡车也开始刹车,两者的v-t图像如图所示,下列说法正确的是A.两车没有追尾,两车的最近距离为10mB.两车没有追尾,并且两车都停下时相距20mC.小汽车与大卡车一定会追尾D.由于在减速时大卡车的加速度大小大于小汽车的加速度大小,导致两车在t==4s时追尾