成都石室中学2024-2023学年度下期高2023届三诊模拟考试数学

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成都石室中学2024-2023学年度下期高2023届三诊模拟考试数学试卷答案

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7．某商店销售一种商品，售价比进价高20%以上才能出售，为了获得更多利润，店方以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少元，商店才能出售？

分析（1）由条件结合正弦定理得：$\sqrt{3}sinCcos{A}=sin{A}sinC$，解得tanA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由正弦定理得化简可求bc=4，利用三角形面积公式即可得解．
（2）利用平面向量数量积的运算可求得bc=8，利用余弦定理及基本不等式可求a的最小值．

解答解：由条件结合正弦定理得：$\sqrt{3}sinCcos{A}=sin{A}sinC$，
从而$sin{A}=\sqrt{3}cos{A}$，$tan{A}=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴${A}=\frac{π}{3}$．…（3分）
（1）由正弦定理得：4c=c²b，∴bc=4，
∴${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}bcsin{A}=\sqrt{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}=cbcos{60°}=4$⇒bc=8．
又a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=8，当且仅当$b=c=2\sqrt{2}$时，等号成立．
∴${a_{min}}=2\sqrt{2}$．…（10分）

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，正切函数的图象和性质，考查了平面向量的数量积的运算，属于中档题．

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