铜陵市2023年新课标老高考高三模拟考试数学

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铜陵市2023年新课标老高考高三模拟考试数学试卷答案

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8．设函数$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$，k∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当k＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间$（{1，\sqrt{e}}]$上仅有一个零点．

分析令f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{3}$）（x+$\frac{1}{4}$）…（x+$\frac{1}{99}$）（x+$\frac{1}{100}$），
（1）则集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}所有子集的“积数”之和即f（x）展开式中所有项数之和T-1，
（2）M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，即f（x）展开式中所有偶次项数之和S．

解答解：（1）令f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{3}$）（x+$\frac{1}{4}$）…（x+$\frac{1}{99}$）（x+$\frac{1}{100}$），
则集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}所有子集的“积数”之和即f（x）展开式中所有项数之和T-1，
令x=1，则T=$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$•$\frac{5}{4}$•…•$\frac{100}{99}$•$\frac{101}{100}$=$\frac{101}{2}$，
∵$\frac{101}{2}$-1=$\frac{99}{2}$，
∴M的所有子集的“积数”之和为$\frac{99}{2}$，
（2）M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，
即f（x）展开式中所有偶次项数之和S，
令x=1，则T=（-$\frac{1}{2}$）•（-$\frac{2}{3}$）•（-$\frac{3}{4}$）•…•（-$\frac{98}{99}$）•（-$\frac{99}{100}$）=-$\frac{1}{100}$，
由$\frac{\frac{101}{2}-\frac{1}{100}}{2}$=$\frac{5049}{200}$得；
M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为$\frac{5049}{200}$．

点评本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题．

铜陵市2023年新课标老高考高三模拟考试数学