2024学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测(23-FX11A)数学

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2024学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测(23-FX11A)数学试卷答案

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(3)和乳腺生物反应器相比,利用转基因猪唾液腺生产药物的缺点是需要用小手术的手段在唾液腺处安插一个引流管。但是其优点很多,如:(答出2点即可)。(4)为获得稳定遗传的转基因猪,上述基因表达载体中的组件需要插入到上。研究团队将第一代转基因猪及其子代产生的唾液利用电泳进行蛋白检测,其中部分片段如下图所示:KDWI456789500hNGF200(319KD)因哀750500EGFP(584KD)注:WT为野生型猪P为第一代转基因猪编号1∼9为为P的子代豆要想尽快得到能稳定遗传的转基因猪,你认为可采取的方案是六长面。

分析（1）运用同角的平方关系，化为cosx的式子，由余弦函数的值域，结合二次函数的值域求法，即可得到所求值域；
（2）化f（x）为cosx的式子，讨论a的范围，若a=1，0＜a＜1，1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，a＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，注意讨论对称轴和区间的关系，结合条件，即可得到所求a的范围；
（3）假设存在正数a，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值t，即有f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）co{s}^{2}x-2acosx+2}$=t（a-cosx），两边平方，运用恒等式有对应项系数相等，解方程可得a，t，即可判断是否存在．

解答解：（1）f（x）=$\sqrt{（2cosx-1）^{2}+si{n}^{2}x}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}x-4cosx+1+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{3co{s}^{2}x-4cosx+2}$
=$\sqrt{3（cosx-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由cosx∈[-1，1]，$\frac{2}{3}$∈[-1，1]，
则cosx=$\frac{2}{3}$时，取得最小值，且为$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
cosx=-1时，取得最大值，且为3．
则f（x）的值域为[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，3]；
（2）f（x）=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}x-2acosx+1+si{n}^{2}x}$
=$\sqrt{（{a}^{2}-1）co{s}^{2}x-2acosx+2}$，
若a=1，即有f（x）=$\sqrt{2-2cosx}$，由-1≤cosx≤1，
可得cosx=1，即x=2kπ，k∈Z，取得最小值0；
若0＜a＜1时，a²-1＜0，f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）（cosx-\frac{a}{{a}^{2}-1}）^{2}+2-\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}}$，
设t=cosx（-1≤t≤1），由g（t）=（a²-1）（t-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$，
由a²-1＜0，可得g（t）的最小值在t=-1或t=1取得，
由1-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞$\frac{a}{{a}^{2}-1}$-（-1），即有t=1，即x=2kπ，k∈Z，取得最小值；
若a＞1时，由a²-1＞0，g（t）=（a²-1）（t-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$，
当区间[-1，1]为g（t）的减区间，即1≤$\frac{a}{{a}^{2}-1}$，
解得1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
当a＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，区间[-1，1]为先减后增，t=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$时，取得最小值，故不成立．
综上可得，a的范围为0＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
（3）假设存在正数a，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值t，
即有f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）co{s}^{2}x-2acosx+2}$=t（a-cosx），
即有（a²-1）cos²x-2acosx+2=t²cos²x-2t²acosx+t²a²，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1={t}^{2}}\\{2a=2a{t}^{2}}\\{2={t}^{2}{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得t²=1，a²=2，
由于a＞0，则a=$\sqrt{2}$，t=1．
故存在正数a=$\sqrt{2}$，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值1．

点评本题考查可化为二次函数的值域和最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式知识，考查运算能力，属于中档题．

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