2023年广东省普通高中学业水平考试压轴卷(三)数学

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2023年广东省普通高中学业水平考试压轴卷(三)数学试卷答案

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17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过点P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ） ①求椭圆C的标准方程；
②若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

分析根据f（x）为奇函数，可得f（0）=0，原不等式可化为f（4m-2mcosθ）＞f（4-2cos²θ），即4m-2mcosθ＞4-2cos²θ，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=2t²-2mt+4m-4＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答解：f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
又f（x）在R上为增函数，
所以原不等式即为f（4m-2mcosθ）-f（4-2cos²θ）＞0，
即有f（4m-2mcosθ）＞f（4-2cos²θ），
∴4m-2mcosθ＞4-2cos²θ，
即2cos²θ-2mcosθ+4m-4＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：
当t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=2t²-2mt+4m-4＞0恒成立．
由2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]，
得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=t-2+$\frac{2}{t-2}$+4，t∈[0，1]时，
令h（t）=（2-t）+$\frac{2}{2-t}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=2-$\sqrt{2}$时，h（t）取得最小值2$\sqrt{2}$，
故m＞（t-2+$\frac{2}{t-2}$+4）_max=4-2$\sqrt{2}$．
即存在这样的m，且m∈（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．

2023年广东省普通高中学业水平考试压轴卷(三)数学