2024届甘肃省高一7月联考试卷（正方形包菱形）数学试题答案

2024届甘肃省高一7月联考试卷（正方形包菱形）数学试题答案

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20．某网站体育版足球栏目发起了“射手的连续进球与射手在场上的区域位置的关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：

	有关系	无关系	不知道
40岁以下	800	450	200
40岁以上（含40岁）	100	150	300

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值；
（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体：
①从这10个人中选取3人，求至少一人在40岁以下的概率；
②从这10人中选取3人，若设40岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望．

分析构造函数f（x）=sinx，由f′（x）在（0，π）上是减函数，得出存在点ξ∈（x₁，x₂），使f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
η∈（x₂，x₃），使f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$，再由f′（x）的递减性即得所证．

解答证明：设函数f（x）=sinx，则f′（x）=cosx在（0，π）上是减函数；
∵f（x）在（x₁，x₂）上可导，在[x₁，x₂]上连续，
∴由拉格朗日中值定理知，
存在一点ξ∈（x₁，x₂），使得f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
同理，存在一点η∈（x₂，x₃），使得f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$；
又ξ＜η，利用f′（x）的递减性知，
f′（ξ）＞f′（η），
∴$\frac{sin{x}_{1}-sin{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$．

点评本题考查了利用函数的导数证明不等式的问题，也考查了转化思想的应用问题，是较难的题目．

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