湖南省永州市2025届高三下学期模拟考试（二）数学试卷含解析

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1、2025 届湖南省永州市高三下学期模拟考试数学试卷命题人：宁远县第三中学胡巧波 审题人：宁远县第三中学胡巧波一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合 ，依据并集的定义计算即可.【详解】解：由已知集合 ，所以 .故选：C2. 在复平面内，复数 对应的点坐标为 ，则实数 （ ）A. 1 B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简 ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为 ，则复数 在复平面内对应的点为

2、，又复数 对应的点坐标为 ，所以 .故选：D3. 已知向量 ， .若 ，则 的值为（ ）A. 1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解.第 1页/共 21页【详解】由 ，得 ，解得 .故选：D.4. 若抛物线 的准线为直线 ，则 截圆 所得的弦长为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出准线 的方程，进而可求出圆心到直线 的距离，结合勾股定理可求得结果.【详解】抛物线 的准线方程为 ，圆 的圆心为原点，半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，所以， 截圆 所得的弦长为 ，故选：A.5. 已知互不相等的数据 ， ， ， ， ， ， 的平均数为 ，

3、方差为 ，数据 ， ， ， ， 的方差为 ，则（ ）A. B.C. D. 与 的大小关系无法判断【答案】C【解析】【分析】根据所给数据分别计算 、 比较大小即可求解.【详解】根据已知条件第一组数据的个数为 个，且 ，所以 ，第 2页/共 21页第二组数据的个数为 个，且平均数 ，因为 ，所以 .故选：C6. 我们曾学习过碳 14 的半衰期约为 5730 年（即碳 14 大约每过 5730 年衰减为原来的一半），即经过 年后，碳 14 的含量 （ 为碳 14 的初始含量， 为常数），则碳 14 含量由原来的 衰减为 大约需要经过（ ）（参考数据： ）A. 2292 年 B. 2456 年 C.

4、2674 年 D. 2838 年【答案】B【解析】【分析】利用半衰期的意义求出 ，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.【详解】依题意，当 时， ，即 ，解得 ，设经过 年碳 14 含量衰减为原来的 ，经过 年碳 14 含量衰减为原来的 ，则 ，即 ，所以.故选：B7. 已知 是公差不为 0 的等差数列，其前 项和为 ，则“ ， ”是“ ”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】第 3页/共 21页【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“ ”能否推出“ ”以及“ ”能否推出“ ”，进而确定两者之间的条件关

5、系.【详解】若 ，这意味着 是数列 中的最小值.因为 是公差不为 的等差数列，所以该数列的前 项和 是关于 的二次函数（且二次项系数不为 ），其图象是一条抛物线.当 是最小值时，说明从第 项开始数列的项变为正数，即 ，且 .所以由“ ”可以推出“ ”，充分性成立.若 ，仅知道第 项是非正的，但无法确定 就是 的最小值.例如， ， 就不是最小值，即不能推出 ，必要性不成立.因为充分性成立，必要性不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：C8. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】C【解析】【 分 析 】 原 等 式 变 形 为 ， 构 造 函 数 ， 分 析 单 调 性 可 得，等价变形为 ，根据函数单调性可得 的最小值.【详解】由 ，得 ，故 .由题意得， ， ，由 得， .设 ， ，则 ， 上单调递增， ， ，第 4页/共 21页 ，即 ， ， ，令 ，得 ，当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，当 时， 取极小值也是最小值，最小值为 故选：C二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分