2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期末数学试卷（含解析）

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1、第 1页，共 17页2024-2025 学年福建省福州十五中高一（下）期末数学试卷学年福建省福州十五中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 的外接圆圆心为，且 2?=?+?，|?|=|?|，则向量?在向量?上的投影向量为()A.14?B.34?C.14?D.34?2.已知平面向量?=(2,4)，?=(2,1)，则向量?在向量(?+2?)上的投影向量的坐标为()A.(53,53)B.(25,25)C.(25,5)D.(3,3)3.已知一组样本数据1，2，7(1 2 sin2+sin2，则 是钝角

2、三角形B.若 是锐角三角形，则 C.若=4，=3，=3，则满足这组条件的三角形有两个D.若2 2=，则=212.下列结论错误的是()A.若向量?=(1,2)，?=(1,1)，且?与?+?的夹角为锐角，则的取值范围是(53,+)B.若非零向量?，?满足|?|=|?|=|?|，则?与?+?的夹角为 60C.若向量?，?满足(?2?)?=2，且|?|=2，则?在?方向上的投影向量的模为 5D.若向量?与?的夹角为6，|?|=3,|?|=1,，则|?+?|的最小值为14第 3页，共 17页三、填空题：本题共 1 小题，每小题 6 分，共 6 分。13.已知|=1，则|+3 4|的取值范围是_四、解答题

3、：本题共 5 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题 16 分)已知 的内角，所对的边分别是，向量?=(+,)，?=(,)，且?/?(1)求；(2)若?=3?,=1，求 面积的最大值；(3)若 为锐角三角形，且=3，求 周长的取值范围15.(本小题 16 分)2023 年 10 月 22 日，汉江生态城 2023 襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45,55)，第二组55,65)，第三组65,75)，第四

4、组75,85)，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为 0.3，第一组和第五组的频率相同(1)估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和第 25 百分位数；(2)在这 100 名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取 10 人，再从这 10 名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 62 和 40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面

5、试成绩的方差16.(本小题 16 分)是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行第 4页，共 17页了相关专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为()，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512(1)求和的值；(2)试求两人共答对 3 道题的概率17.(本小题 16 分)如图，在三棱锥 中，平面 平面，为等边三角形，且=2，分别为，的中点(1)求证：平面

6、平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值18.(本小题 16 分)如图，在四棱锥 中，底面是菱形，=23，为棱的中点，=4，=23，直线与所成的角的大小为3(1)证明：/平面；(2)证明：平面；(3)求二面角 的正弦值第 5页，共 17页答案和解析答案和解析1.【答案】【解析】解：如图，因为 2?=?+?，所以为的中点，又因为为 的外接圆圆心，所以为圆的直径，且=，=90，又因为|?|=|?|，所以 为等边三角形，即=60，因为 为等腰三角形，所以=90 60=30，因为 为以为斜边的直角三角形，所以|?|=32|?|，所以向量?在向量?上的投影向量为：|?|150?|?|=32|?|150?|?|=32(32)?=34?故选：根据条件作图，可得 为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即=30，|?|=32|?|，再根据投影向量的概念求解即可本题考查三角形的性质和投影向量的求解，属于基础题2.【答案】【解析】解：由?=(2,4)，?=(2,1)，可得|?|=22+42=25，?=2 2+4 1=8，且?+2?=(2,4)+2(2,1)=(6,6)，则?(?+2?)=(2,4)(6,6