2025年7月上海交大附中夏令营数学试卷（含解析）

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1、2025年7月上海交大附中夏令营数学试卷一、填空题：本题共11小题，每小题5分，共55分。1.已知2x+y7z=0，x2y+4z=0(xyz0)，则2x+y+zx2y+z= _2.若|a3 2|+ b3+ 2=0，则代数式ab+3的值为_3.若关于x，y的方程组x+ay+1=0bx2y+1=0有无数组解，则 (ab)2=_4.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1.以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2；以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A7B7的长为_5.下列

2、命题：相等的角是对顶角；算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；已知关于x、y的二元一次方程组x+y=1axy=3a+5，不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变；已知正实数x的平方根是a+b和a+c，若(a+b)2x+(a+c)2x=4050，则x=45；若不等式|a1|+|a4|m对一切实数a都成立，则m的最大值是5；其中真命题是：_.(请填序号)6.一个正整数x能写成x=a2b2(a,b均为正整数)，则称x为“美满数”，a，b为x的一个美满分解，并规定：F(x)=ab.如果一个两位正整数(十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则

3、F(4752)的值为_7.已知关于x的多项式mxm1(m0)，当1x3时，该多项式有2个整数值，则m的取值范围是_8.如图，在平面直角坐标系中，直线l与正方形AOBC交于A，B两点，与y轴交于点D，已知点A(1,3)，则点D的坐标为_9.如图，平面直角坐标系xOy中，直线l：y= 33x+ 3与x轴，y轴分别交于A，B两点，BAO=30，点D是直线l上一动点，将点D向左平移1个单位得到点E，点C(1,0)，则OE+CE的最小值为_10.已知抛物线y=ax2x1与x轴交于A，B两点，顶点为C，如果ABC为直角三角形，则a= _11.如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=

4、8 2x(x0)的图象交于C、D两点.若C、D两点为线段AB的三等分点，连接OC、OD，则OCD面积为_二、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。12.(本小题15分)某数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似之后；对三角形的相似问题进行深入探究(1)【感知问题】如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与A，B重合)，A=B=DPC=90.易证：DAPPBC.(不需要证明)(2)【探究问题】如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，A=B=DPC.求证：DAPPBC(3)【知识应用】如图3，在ABC中，AC=BC=6，AB=7.

5、点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，连接CP，作CPE=A，PE与边BC交于点E(i)当CE=2EB时，求AP的长；(ii)当CPE是等腰三角形时，求AP的长13.(本小题15分)如图，直线y=12x+b与x轴，y轴及直线y=32x+5分别交于点A(2,0)，B，C(1)求点B和点C的坐标；(2)M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作ABNM，连接CM，CN求CM+CN的最小值；在点M移动过程中，CMN能否等于45？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由14.(本小题15分)在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90，点A的对应点F恰好落在CD上(1)如图1，求证：CE=CD；(2)连接AF，作BCD的平分线交AF于点P，交EF于点M如图2，判断点P是否为线段AF的中点，并说明理由；如图3，连接PB交AE于点N，若DF=CF=1，求PN的长答案解析1.【答案】83【解析】解：由x2y+4z=0得x=2y4z，则2x+y7z=4y8z7z=0中化简得：y=3z，代入x=2y4z中得：x=2z，所以2x+y+zx2y+z=22z+3z+z2z23z+z=83，故答案为：83根据题意用z表示出x，y，代入原式计算即可得到结果本题主要考查了等式性质