黑龙江省哈尔滨市道外区2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

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1、第 1页，共 6页2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中数学试卷数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是()A.两个单位向量一定相等B.若?与?不共线，则?与?都是非零向量C.共线的单位向量必相等D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同2.复数(4+)(1+5)的虚部为()A.4B.4C.4D.43.在 中，已知角，的对边分别为，若：=4：7：9，则=()A.1921B.863C.1921D.16214.已知(2,1)，(3,1)，(

2、1,5)三点，则?等于()A.15B.13C.2D.15.如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点与，垂直于平面.现测得=15，=120，=20，并在点测得塔顶的仰角为 45，则塔高=()A.20 63B.103C.106D.2036.在 中，边上的中线为，点满足?=3?，则?=()A.38?+58?B.38?58?C.58?38?D.58?+38?7.如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是()A.B.C.D.第 2页，共 6页8.如果复数满足|+2|+|2|=4，则|+1|的最小值为()A.1B.2C.2D.5二、多选题：

3、本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量?=(,3)，?=(5,2)，则下列结论正确的是()A.若?/?，则=152B.若?，则=65C.若|?|=5，则=4D.若=3，则?=2110.已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为 1 的直角三角形，则()A.该圆锥的母线长为2B.该圆锥的体积为13C.该圆锥的侧面积为D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为211.已知 的内角，所对的边分别为，下列结论正确的是()A.若 ，则 B.若2sin2+2sin2=2，则 是直角三角形C.若?=，则 是锐角三角形D.+1三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共

4、15 分。12.已知复数(2 )(+)是纯虚数(为虚数单位)，则实数的值为_13.在 中，内角，所对的边分别为，=3，则=_14.六氟化硫，化学式为6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为 4，则它的内切球的表面积为_四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)设复数1=2 ()，2=1+(1)若1+2是实数，求12；(2)若12是纯虚数，求1的共轭复数16.(本小题 15

5、 分)已知?与?是平面内的两个向量，|?|=2，|?|=1，?与?的夹角为4第 3页，共 6页(1)求?；(2)求|?+2?|；(3)在平面直角坐标系下，若?=(1,0)，求?在?方向上的投影向量的坐标17.(本小题 15 分)在 中，角，所对的边分别为，已知2+2 2=(1)求(2)若=2，且三角形的面积为 83，求 的周长18.(本小题 17 分)如图，在棱长为 2 的正方体 1111中，截去三棱锥1，求(1)截去的三棱锥1 的表面积；(2)剩余的几何体1111 的体积；(3)在剩余的几何体1111 中连接11，求四棱锥1 11的体积19.(本小题 17 分)在 中，角，的对边分别为，向量

6、?=(,+)，?=(,)，且?(1)若边=8，?=6，的平分线交边于点.求的长；(2)若为边上任意一点，=1，=2.求 2+的最小值第 4页，共 6页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.1213.2314.32315.解：(1)1+2=2 +1+=3+(1 )，则=1，12=21+=(2)(1)(1+)(1)=132=1232；(2)12=(2 )(1+)=+2+(2 )，由+2=0 且 2 0，解得=2，则1=2+2，1的共轭复数为 2 216.解：(1)?=|?|?|cos?,?=2 1 cos4=1；(2)因为|?+2?|2=?2+4?2+4?=2+4+4=10，所以|?+2?|=10；(3)?在?方向上的投影向量为?|?|2?=11?=?=(1,0)17.解：(1)因为2+2 2=，由余弦定理可得2+2 2=2，所以=12，第 5页，共 6页又 0 0，0，2+=7，即2+1=7，2+=(2+)(2+1)17=17(5+2+2)17(5+222)=9 77，当且仅当=时等号成立，2+的最小值为9 77