北京市东城区景山学校2024-2025学年高二（上）期中数学试题（含答案）

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1、第 1 页，共 12 页 北京市东城区景山学校北京市东城区景山学校 2024-2025 学年高二（上）期中数学试题学年高二（上）期中数学试题 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点(1,2,3)是法向量为 =(1,1,1)的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是()A.(3,2,1)B.(2,5,4)C.(3,4,5)D.(2,4,8)2.过点(3,2)且斜率为1的直线方程是()A.+1=0 B.+1=0 C.+1=0 D.1=0 3.已知两条直线1:+4 1=0,2:+2=0，则“=2”是“1/2”的()A

2、.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知点(2,3)，(3,2)，若过点(1,1)的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是()A.(,34 4,+)B.(,4 34,+)C.34,4 D.4,34 5.如图，在正三棱柱 111中，=1=2，则1与平面11所成角的余弦值为()A.104 B.64 C.32 D.22 6.若直线2 +=0和直线3 +3=0的交点在第二象限，则的取值范围为()A.(,3)B.(2,+)C.(,2)(3,+)D.(2,3)7.已知直线:+2 =0过定点，点(,)在直线2 +1=0上，则|的最小值是()A.5 B.5 C.

3、3 55 D.55 8.已知+=0，则 2+2 2 2+2+(2)2+2的最小值为()A.5 B.2 2 C.10 D.2 5 第 2 页，共 12 页 9.如图，在棱长为1的正方体 1111中，=1(0 1)，=1(0 02+3 0，所以 1，所以 的面积=12|2+3+1|2+3|=12(2+3)2+1，设+1=0，则=12(2+1)2=2+12+2 2 2 12+2=4，当且仅当2=12即=12时取等号，此时=12，(4,0)，(0,2)所以 的面积最小时，的周长为4+2+42+22=6+2 5，此时直线的方程为+2 4=0 19.【答案】(1)证明：取的中点，连接,，在正方形中，=1，

4、并且 ,在 中，2=2+2，所以 ，.因为 =,平面，所以 平面,而 平面，所以平面 平面；(2)解：存在点，当=13时，满足题意，理由如下：因为,两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系 ，第 8 页，共 12 页 则(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)，因为 平面，所以平面的法向量为=(0,0,1),假设存在满足题意的点，且=(0 1)，则(0,1 ,)，设平面的法向量为 =(,)，则有 =+=0 =(2 )+=0 不妨设=，得 =(,2 )，所以|cos,|=|=5 39,两边平方，整理得62+1=0，解得=13或=12(舍)，经检验，=13满足题意，因此，存

5、在点，只需=13即可 20.【答案】(1)(1)连接，交于，连接，底面是正方形，故是的中点，又因为为棱的中点，第 9 页，共 12 页 所以，在 中/，而 平面,平面，所以/平面(2)选：因为四边形是正方形，所以 ,/，又因为 ，所以 ，因为二面角 的大小为45，平面 平面=,，所以=45，在 中，2=2+2 2 cos=1，所以2+2=2，故 ，又因为 ,=,平面，所以 平面，选：因为四边形是正方形，所以 ,/，又因为 ，所以 ，因为二面角 的大小为45，平面 平面=,，所以=45，因为 ,=,平面，所以 平面，又因为 平面，所以 ，又因为 ,=,平面，所以 平面，因为 平面，所以 ，又因为

6、为中点，所以=，所以=45，所以=90，即 ，因为/,平面，所以 平面，第 10 页，共 12 页 选：因为四边形是正方形，所以 ,/，因为 ,=,平面，所以 平面，又因为 平面，所以 ，又因为 ,=,平面，所以 平面，因为 平面，所以 ，又因为为中点，所以=1，在 中，2+2=2，故 ，因为/,平面，所以 平面，选同上 以为原点，,为,轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,12,12),(0,0,1)，故=(0,12,12),=(1,1,0),=(1,1,1)，令=(,)为面的一个法向量，则 =12+12=0,=+=0.令=1，则=(1,1,1)，()因为|cos,|=|=1 3 3=13，所以直线与平面所成角的正弦值为13，()由()知点到平面的距离13|=33 第 11 页，共 12 页 21.【答案】(1)由已知(,1 )，则根据“曼哈顿距离”定义得=|+|1|1，|+|1|1，当 0时，+1 1成立，解得=0；当0 1时，+1 1，解得0 1；当 1时，+1 1，解得=1 综上所述点的横坐标的取值范围是0,1；(2)设出动点(1,21